Question

已知函數(shù)f（x）=2ax-

1

x

-（2+a）lnx（a≥0）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的a∈（2，3），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得極值即可；
（2）分類討論利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等價(jià)于（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值，解不等式求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-

1

x

-2lnx⇒f、(x)=

1

x2

-

2

x

=

1-2x

x2

(x＞0)…（2分）
由f、(x)=

1-2x

x2

＞0，解得x＜

1

2

，可知f（x）在（0，

1

2

）上是增函數(shù)，在（

1

2

，+∞）上是減函數(shù)．…（4分）
∴f（x）的極大值為f(

1

2

)=2ln2-2，無極小值．…（5分）
(2)f(x)=2ax-

1

x

-(2+a)lnx⇒f、(x)=2a+

1

x2

-(2+a)

1

x

=

2ax2-(2+a)x+1

x2

．①當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在（0，

1

2

）和(

1

a

，+∞)上是增函數(shù)，在(

1

2

，

1

a

)上是減函數(shù)；…（7分）
②當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；                  …（8分）
③當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在(0，

1

a

)和(

1

2

，+∞)上是增函數(shù)，在(

1

a

，

1

2

)上是減函數(shù)  （9分）
（3）當(dāng)2＜a＜3時(shí)，由（2）可知f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，
∴|f(x1)-f(x2)|≤f(3)-f(1)=4a-(2+a)ln3-

4

3

．…（10分）
由（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|對(duì)任意的a∈（2，3），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，
∴（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max…（11分）
即(m-ln3)a-2ln3＞4a-(2+a)ln3-

4

3

對(duì)任意2＜a＜3恒成立，
即m＞4-

4

3a

對(duì)任意2＜a＜3恒成立，…（12分）
由于當(dāng)2＜a＜3時(shí)，

10

3

＜4-

4

3a

＜

32

9

，∴m≥

32

9

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識(shí)，考查分類討論思想、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力，屬難題．