Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=

2

a，設SB的中點為M，DM⊥MC．
（1）求證：DM⊥平面SBC；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明DM⊥SB，利用DM⊥MC，即可證明DM⊥平面SBC；
（2）證明BC⊥平面SBD，分別求出棱錐的底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可求四棱錐S-ABCD的體積

解答： （1）證明：∵BD=SD=

2

a，∴DM⊥SB．
又∵DM⊥MC，SB∩MC=M，
∴DM⊥面SBC．…（6分）
（2）解：∵DM⊥面SBC，∴DM⊥BC，
又SD⊥平面ABCD，∴BC⊥SD．
∵SD∩DM=D，∴BC⊥平面SBD．…（9分）
∵BD?平面SBD，∴BC⊥BD．
∵AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD=45°，
∴CD=

2

BD=2a．
∴SABCD=

1

2

(AB+CD)•AD=

3

2

a2．
∴VS-ABCD=

1

3

SABCD•SD=

2

2

a3．…（12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，熟練掌握空間直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定、性質、定義、幾何特征是解答此類問題的關鍵．