Question

設P（x，y）是曲線C：x²+y²+4x+3=0上任意一點，則

y

x

的取值范圍是（　　）

• A．[-

  3

  ，

  31

  ]
• B．（-∞，-

  3

  ]∪[

  3

  ，+∞）
• C．[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]
• D．（-∞，-

  3

  3

  ]∪[

  3

  3

  ，+∞）

Answer 1

分析：由曲線C方程是x²+y²+4x+3=0，知曲線C是一個圓，圓心坐標是（-2，0），半徑是1，關于x軸上下對稱，設圓心為A，坐標原點為O，過O作直線OB與圓相切于B（取切點B在第三象限），直線OB與x軸的夾角為α，則

y

x

=tanα=

AB

BO

，由此入手能夠求出

y

x

的取值范圍．

解答：解：∵曲線C方程是x²+y²+4x+3=0，即（x+2）²+y²=1，
故曲線C是一個圓，圓心坐標是（-2，0），半徑是1，關于x軸上下對稱，
設圓心為A，坐標原點為O，過O作直線OB與圓相切于B（取切點B在第三象限），
直線OB與x軸的夾角為α，則

y

x

=tanα=

AB

BO

，
∵AO=|-2|=2，AB=1，△AOB是直角三角形
∴BO=

22-12

=

3

，
故

y

x

=tanα=

AB

BO

=

1

3

=

3

3

，
∴α=

π

6

，
∵曲線C是一個圓，關于X軸對稱，
∴α=-

π

6

時，直線

y

x

=tanα與直線OB關于x軸對稱，此時切點在第二象限，
∴

y

x

=tanα=tan（-

π

6

）=-

3

3

．
故

y

x

的取值范圍是[-

3

3

，

3

3

]．
故選C．

點評：本題考查直線與圓的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意圓的對稱性的合理運用．