Question

已知函數(shù)，且）．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，方程有惟一解時，求的值。

Answer 1

(1) 當(dāng)是偶數(shù)時, 在上是增函數(shù)；當(dāng)是奇數(shù)時在是減函數(shù),在是增函數(shù)；(2).

【解析】

試題分析：(1)求單調(diào)區(qū)間，弦確定定義域，利用求導(dǎo)得：，再按k是偶數(shù)時，和k是奇數(shù)時，進(jìn)行分情況，分別求得導(dǎo)函數(shù)大于零和小于零，進(jìn)而求得單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，方程有唯一解，令，利用求導(dǎo)進(jìn)一步得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以要滿足題意，只需使有唯一解，只需使，進(jìn)而求得的值.

試題解析：(1)由已知得，且．

當(dāng)是偶數(shù)時,則,則在上是增函數(shù); （2分）

當(dāng)是奇數(shù)時,則,, （3分）

所以當(dāng)x時,, 當(dāng)x時,，

故當(dāng)是偶數(shù)時, 在上是增函數(shù);

當(dāng)是奇數(shù)時在是減函數(shù),在是增函數(shù)． （5分）

（Ⅱ）若，則）

記, ,

若方程有唯一解，即有唯一解； （6分）

令,得，

（舍去） （7分）

當(dāng)時，,在是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時，,在上是單調(diào)遞增函數(shù)。

當(dāng)時, , （8分）

有唯一解，

則，即 （9分）

（10分）

設(shè)函數(shù)，

∵在時,是增函數(shù)，至多有一解。

, ∴方程(*)的解為，即，解得。 （12分）

考點：1.利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；2.分類討論思想；3.零點的個數(shù)問題.