Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

2

ax²-ln（1+x），其中a∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：

ln2

2

+

ln3

3

+

ln4

4

+…+

ln3n

3n

＜3ⁿ-

5n+6

6

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x

x+1

．故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）．當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，列表討論f（x）與f'（x）的情況能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）

In2

2

+

In3

3

+

In4

4

+…+

In3n

3n

=3ⁿ-（

2-ln2

2

+

3-ln3

3

+

4-ln4

4

+…+

3n-ln3n

3n

）＜3ⁿ-

5n+6

6

（n∈N^*）．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-

1

2

ax²-ln（1+x），
∴f′（x）=1-ax-

1

1+x

=

x(1-a-ax)

1+x

，x＞-1，
：①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x

x+1

．
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=0，或x₂=

1

a

-1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）與f'（x）的情況如下：
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x₁=0，或x₂=

1

a

-1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

a

-1）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，+∞）．
當(dāng)a＞1時(shí)，-1＜x₂＜0，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（

1

a

-1，0）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（-1，0）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0，

1

a

-1），減區(qū)間是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的減區(qū)間是（-1，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（

1

a

-1，0）；減區(qū)間是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．
（3）證明：

In2

2

+

In3

3

+

In4

4

+…+

In3n

3n

=（1+

ln2-2

2

）+（1+

ln3-3

3

）+（1+

ln4-4

4

）+…+（1+

1n3n-3n

3n

）
=3ⁿ-（

2-ln2

2

+

3-ln3

3

+

4-ln4

4

+…+

3n-ln3n

3n

）
＜3ⁿ-

5n+6

6

（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．