Question

已知以原點為中心，以坐標軸為對稱軸的橢圓C的一個焦點為(0，

3

)，且過點（0，2）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+1與橢圓C交于A，B兩點，k為何值時

OA

⊥

OB

？此時|

AB

|的值是多少？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意根據(jù)橢圓的性質可得c=

3

、a=2，b=1，從而求得橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設直線y=kx+1與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線代入橢圓的方程，再利用韋達定理求得 x₁+x₂ 和x₁•x₂．根據(jù) 

OA

•

OB

=0，求得k的值．根據(jù)|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1•x2

，計算求得結果．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)所求的橢圓以原點為中心，以坐標軸為對稱軸的橢圓C的一個焦點為(0，

3

)，
且過點（0，2），可得c=

3

，a=2，
∴b=1，橢圓C的標準方程為

y2

4

+

x2

1

=1．
（Ⅱ）設直線y=kx+1與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
由

y=kx+1 y2 4 + x2 1 =1

可得 （k²+4）x²+2kx-3=0，∴x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁•x₂=

-3

k2+4

．
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0，即 x₁•x₂+y₁•y₂=0，即（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
即 （1+k²）（

-3

k2+4

）+k（-

2k

k2+4

）+1=0，化間得-4k²+1=0，解得k=±

1

2

．
此時，|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

5

2

•

(± 1 17 4 )2-4× -3 17 4

=

4 65

17

．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系、弦長公式的應用，屬于中檔題．