Question

11．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左右焦點，O是坐標原點，過F₁的直線l與橢圓C交于A，B兩點．
（1）若橢圓上存在點P，使得四邊形OAPB是平行四邊形，求直線l的方程；
（2）是否存在這樣的直線l，使四邊形OAPB是矩形，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1可得：c=$\sqrt{2}$，F(xiàn)₁$（-\sqrt{2}，0）$，當l⊥x軸時，當l與x軸重合時，不符合題意，舍去；當l與x軸不垂直且與x軸不重合時，假設橢圓上存在點P，使得四邊形OAPB是平行四邊形，設my=x+$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可化為$（2+{m}^{2}）{y}^{2}-2\sqrt{2}my-2=0$，利用根與系數(shù)的關系可得：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），代入橢圓方程解出m即可．
（2）當l與x軸垂直或重合時，都不符合題意，舍去；假設存在這樣的直線l，使四邊形OAPB是矩形，由（1）利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，解出m即可．

解答 解：（1）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1可得：c=$\sqrt{2}$，F(xiàn)₁$（-\sqrt{2}，0）$，
當l⊥x軸時，則橢圓上不存在點P，使得四邊形OAPB是平行四邊形，舍去；
當l與x軸重合時，也不符合題意，舍去；
當l與x軸不垂直且與x軸不重合時，假設橢圓上存在點P，使得四邊形OAPB是平行四邊形，
設my=x+$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{my=x+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，化為$（2+{m}^{2}）{y}^{2}-2\sqrt{2}my-2=0$，
∴y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}m}{2+{m}^{2}}$，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2$\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$-2$\sqrt{2}$=$\frac{-4\sqrt{2}}{2+{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
∴P$（\frac{2\sqrt{2}{m}^{2}}{2+{m}^{2}}，\frac{-4\sqrt{2}}{2+{m}^{2}}）$，代入橢圓方程可得：$（\frac{2\sqrt{2}{m}^{2}}{2+{m}^{2}}）^{2}$+2$（\frac{-4\sqrt{2}}{2+{m}^{2}}）^{2}$=4，
化為m⁴-4m²-12=0，解得m=$±\sqrt{6}$．
∴直線l的方程為：x$±\sqrt{6}$y+$\sqrt{2}$=0．
綜上可得：滿足條件的直線l的方程為：x$±\sqrt{6}$y+$\sqrt{2}$=0．
（2）當l與x軸垂直或重合時，都不符合題意，舍去；
假設存在這樣的直線l，使四邊形OAPB是矩形，
由（1）可得：設my=x+$\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{my=x+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，化為$（2+{m}^{2}）{y}^{2}-2\sqrt{2}my-2=0$，
∴y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-2}{2+{m}^{2}}$．
∴x₁x₂=$（m{y}_{1}-\sqrt{2}）（m{y}_{2}-\sqrt{2}）$=m²y₁y₂-$\sqrt{2}m（{y}_{1}+{y}_{2}）$+2，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-$\sqrt{2}m（{y}_{1}+{y}_{2}）$+2=$\frac{-2（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$-$\frac{4{m}^{2}}{2+{m}^{2}}$+2=0，
化為2m²=1，解得m=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴滿足條件的直線l存在，其方程為：$x±\sqrt{2}y+2=0$．

點評 本題考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、向量的平行四邊形法則、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．