設(shè)函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記曲線在點(diǎn)(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值.
【解析】第一問(wèn)利用由已知,所以,
由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減; 在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
第二問(wèn)中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image020.png">,所以曲線在點(diǎn)處切線為:.
切線與軸的交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image006.png">,所以,
, 在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,當(dāng)時(shí),有最大值,此時(shí),
解:(Ⅰ)由已知,所以, 由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image020.png">,所以曲線在點(diǎn)處切線為:.
切線與軸的交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091130522182623148_ST.files/image006.png">,所以,
, 在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,當(dāng)時(shí),有最大值,此時(shí),
所以,的最大值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高三學(xué)業(yè)水平考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)函數(shù),其中,為正整數(shù),、、均為常數(shù),曲線在處的切線方程為.
(1)求、、的值;
(2)求函數(shù)的最大值;
(3)證明:對(duì)任意的都有.(為自然對(duì)數(shù)的底)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年江西省七校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù),其中a>0.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若直線是曲線的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅲ)設(shè),求在區(qū)間上的最大值(其中e為自然對(duì)的底數(shù))。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年浙江省高三12月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(滿分15分)設(shè)函數(shù),,(其中為自然底數(shù));
(Ⅰ)求()的最小值;
(Ⅱ)探究是否存在一次函數(shù)使得且對(duì)一切恒成立;若存在,求出一次函數(shù)的表達(dá)式,若不存在,說(shuō)明理由;
(Ⅲ)數(shù)列中,,,求證:。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:陜西省模擬題 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年四川省成都市模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), .(Ⅰ)設(shè),求函數(shù)的最值;(Ⅱ)若對(duì)于任意的,都有成立,求的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)中,當(dāng)時(shí),,.結(jié)合表格和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)判定單調(diào)性和極值,進(jìn)而得到最值。
第二問(wèn)中,∵,,
∴原不等式等價(jià)于:,
即, 亦即
分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,.
當(dāng)在上變化時(shí),,的變化情況如下表:
|
- |
+ |
|
||
1/e |
∴時(shí),,.
(Ⅱ)∵,,
∴原不等式等價(jià)于:,
即, 亦即.
∴對(duì)于任意的,原不等式恒成立,等價(jià)于對(duì)恒成立,
∵對(duì)于任意的時(shí), (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).
∴只需,即,解之得或.
因此,的取值范圍是
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