Question

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施建設(shè)不能開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在一直線上），公共設(shè)施邊界為曲線f(x)=1-

4

3

x2的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M，N，交曲線于點(diǎn)P，則△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最小值為

2

3

．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出P的坐標(biāo)，確定過(guò)點(diǎn)P的切線方程，進(jìn)而可得M，N的坐標(biāo)，表示出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)法，即可確定△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最小值．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=-

8

3

x
設(shè)P（m，1-

4

3

m2）（m＞0），則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y-（1-

4

3

m2）=-

8

3

m×（x-m）
令y=0，則x=

m

2

+

3

8m

，令x=0，則y=1+

4

3

m2
∴△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為S=

3(1+ 4 3 m2)2

16m

=

3

16

(

1

m

+

8

3

m+

16

9

m3)
求導(dǎo)函數(shù)可得S′=

3

16

(-

1

m2

+

8

3

+

16

3

m2)
令S′=0，可得16m⁴+8m²-3=0
∴m=

1

2

∴m＞

1

2

時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，0＜m＜

1

2

時(shí)，函數(shù)單調(diào)減
∴m=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得極小值且為最小值，最小值為

2

3

故答案為：

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定切線方程，求出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)法求最值，屬于中檔題．