Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若k∈Z，且對任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）當(dāng)n＞m≥4時(shí)，證明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

Answer 1

（1）解：因?yàn)閒（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．（1分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e處的切線斜率為3，
所以f'（e）=3，即a+lne+1=3．
所以a=1．（2分）
（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，
所以對任意x＞1恒成立，即對任意x＞1恒成立．（3分）
令，
則，（4分）
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
則，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．（5分）
因?yàn)閔（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，（6分）
所以函數(shù)在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以．（7分）
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．
故整數(shù)k的最大值是3．（8分）
（3）證明：由（2）知，是[4，+∞）上的增函數(shù)，（9分）
所以當(dāng)n＞m≥4時(shí)，．（10分）
即n（m-1）（1+lnn）＞m（n-1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n-m）．（11分）
因?yàn)閚＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．（12分）
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．
即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．（13分）
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．（14分）
證明2：構(gòu)造函數(shù)f（x）=mxlnx+mlnm-mxlnm-xlnx，（9分）
則f'（x）=（m-1）lnx+m-1-mlnm．（10分）
因?yàn)閤＞m≥4，所以f'（x）＞（m-1）lnm+m-1-mlnm=m-1-lnm＞0．
所以函數(shù)f（x）在[m，+∞）上單調(diào)遞增．（11分）
因?yàn)閚＞m，所以f（n）＞f（m）．
所以mnlnn+mlnm-mnlnm-nlnn＞m²lnm+mlnm-m²lnm-mlnm=0．（12分）
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．
即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．（13分）
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．（14分）
分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=e代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線方程的斜率，根據(jù)切線斜率為3列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）將原來的恒成立問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問題，研究區(qū)間（1，+∞）上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，研究極值點(diǎn)左右的單調(diào)性，最后確定出最小值，從而得出k的最大值．
（3）由（2）知，是[4，+∞）上的增函數(shù)，從而有當(dāng)n＞m≥4時(shí)，由此式即可化簡得到ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求切線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，是一道中檔題．