Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x﹣ln（x+a）+3b在x=0處取得極值0．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（II）若關(guān)于x的方程+m在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（III）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n＞l，不等式都成立．

Answer 1

解：（I）由已知得f'（x）=2x+1﹣，
∵在x=0處取得極值0，
∴f'（0）=0，
解得：a=1，b=0．
（II）由（I）知f（x）=x²+x﹣ln（1+x）．
則方程+m即x²+x﹣ln（1+x）﹣-m=0，
令H（x）=x²+x﹣ln（1+x）﹣-m，
則方程H（x）=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∵H'（x）=2x﹣﹣=，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，H'（x）＜0，故H（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，H'（x）＞0，故H（x）在（1，2）上是增函數(shù)；
從而有：，
∴﹣﹣ln2＜m≤1﹣ln3．
（III）由（I）知f（x）=x²+x﹣ln（1+x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），且f'（x）=，
當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，f'（x）＜0，故H（x）在（﹣1，0）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，故H（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
∴f（0）為f（x）在（﹣1，+∞）上的最小值，
∴f（x）≥f（0）=0，故x²+x≥ln（1+x），其中當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，
對(duì)任意正整數(shù)n，取x=，得，
∴，
從而有：，分別取n=2，3，…，n，
得到：=ln成立．