精英家教網(wǎng)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO(如圖所示).
(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程;
(Ⅱ)△AOB的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)設出三角形的重心,A,B的坐標,利用三角形重心的性質(zhì)表示出x和y,利用OA⊥OB推斷出kOA•kOB=-1求得x1x2+y1y2=-1把A,B代入拋物線求得x1x2的值,進而求得y和x的關系式即G的軌跡方程.
(II)利用兩點間的距離公式分別表示出|OA|和|OB|代入三角形面積公式,利用基本不等式和x1x2的值求得三角形面積的最小值.
解答:解:(I)設△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
x=
x1+x2
3
y=
y1+y2
3
(1)
∵OA⊥OB∴kOA•kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,(2)
又點A,B在拋物線上,有y1=x12,y2=x22,代入(2)化簡得x1x2=-1
∴Y=
y1+y2
3
=
1
3
(x12+x22)=
1
3
[(x1+x22-2x1x2]=
1
3
×(3x)2+
2
3
=3x2+
2
3

所以重心為G的軌跡方程為y═3x2+
2
3

(II)S△AOB=
1
2
|OA||OB|=
1
2
(
x
2
1
+
y
2
1
)(
x
2
2
+
y
2
2
)
=
1
2
x
2
1
x
2
2
+
x
2
1
y
2
2
+
x
2
2
y
2
1
+
y
2
1
y
2
2

由(I)得S△AOB=
1
2
x
2
1
+
x
2
2
+2
1
2
2|
x
 
1
x
 
2
| +2
=
1
2
×2=1
當且僅當x12=x22即|x1|=|x2|=1時,等號成立.
所以△AOB的面積存在最小值,存在時求得最小值1.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學生分析問題和解決問題的能力.
練習冊系列答案
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在平面直角坐標系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
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3
5
,點B的縱坐標是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

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x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

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3t
,0)
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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