Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

1+an

（n=1，2，3，…），
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算可得結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論，猜想a_n的表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

an

1+an

，
∴a₂=

a1

1+a1

=

1

2

，a₃=

a2

1+a2

=

1

3

，a₄=

a3

1+a3

=

1

4

．             …3分
（2）由（1）可以猜想a_n=

1

n

．                                    …4分
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
�。┊�(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

1

=1，所以當(dāng)n=1時(shí)猜想成立．             …5分
ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)猜想成立，即a_k=

1

k

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

ak

1+ak

=

1 k

1+ 1 k

=

1

k+1

所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．
由�。┖廷ⅲ┛芍�，猜想對(duì)任意的n∈N^*都成立．                   
所以a_n=

1

n

．…8分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．