Question

11．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，B'C∩BC'=O，求：
（1）AO與A′C′所成角的度數(shù)；
（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；
（3）平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由A′C′∥AC，知∠OAC是AO與A′C′所成角，由此能求出AO與A′C′所成角的度數(shù)．
（2）過(guò)O作OE⊥平面ABCD，交BC于E，連結(jié)AE，則∠OAE是AO與平面ABCD所成角，由此能求出AO與平面ABCD所成角的正切值．
（3）由OB⊥AB，BE⊥AB，知∠EBB′是平面AOB與平面AOC所成角，由此能求出平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．

解答 解：（1）∵A′C′∥AC，∴∠OAC是AO與A′C′所成角，
∵正方體的棱長(zhǎng)為1，B'C∩BC'=O，
∴CO=$\frac{1}{2}\sqrt{1+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，AO=$\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠CAO=$\frac{A{O}^{2}+A{C}^{2}-O{C}^{2}}{2•AO•AC}$=$\frac{\frac{6}{4}+2-\frac{2}{4}}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CAO=30°，
∴AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°．
（2）過(guò)O作OE⊥平面ABCD，交BC于E，連結(jié)AE，
則∠OAE是AO與平面ABCD所成角，
AE=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$，
∴tan$∠OAE=\frac{OE}{AE}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴AO與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）∵AB⊥平面BCC′B′，∴OB⊥AB，BE⊥AB，
∴∠EBB′是平面AOB與平面AOC所成角，
∵BE⊥OE，BE=OE，∴∠EBO=45°，
∴平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線角的度數(shù)的求法，考查線面角的度數(shù)的求法，考查面面角的度數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．