Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，，記。
（Ⅰ）判斷的奇偶性，并證明；
（Ⅱ）對(duì)任意，都存在，使得，.若，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅲ）若對(duì)于一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）奇函數(shù)(2) (3)

試題分析：解：（Ⅰ）函數(shù)為奇函數(shù)………………………………………………2分
現(xiàn)證明如下：
∵函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824002916105317.png" style="vertical-align:middle;" />，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。……………………………………3分
由…………………5分
∴函數(shù)為奇函數(shù)…………………………………………………6分
（Ⅱ）據(jù)題意知，當(dāng)時(shí)，，…………7分
∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，即………………………………………8分
又∵
∴函數(shù)的對(duì)稱軸為
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
∴，即………………………………………9分
由，
得，∴………………………………………………………………10分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，
即，
，…………………………………………………12分
令，
下面求函數(shù)的最大值。
，
∴……………………………………………………………………13分
故的取值范圍是………………………………………………………14分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能熟練的運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)得到最值，以及根據(jù)奇偶性的定義準(zhǔn)確的證明，同時(shí)對(duì)于不等式的恒成立問題，能分離參數(shù)法來得到其取值范圍。屬于中檔題。