Question

已知x₁、x₂是關(guān)于x₁的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩個(gè)實(shí)根，那么

x

2 1

+

x

2 2

的最大值是（　　）

• A．19
• B．17
• C．

  122

  9

• D．18

Answer 1

分析：先利用韋達(dá)定理得出根與系數(shù)的關(guān)系，再將所求式變形，結(jié)合函數(shù)的判別式，確定函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，由此即可求得

x

2 1

+

x

2 2

的最大值．

解答：解：∵x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩個(gè)實(shí)根
∴x₁+x₂=k-2，x₁x₂=k²+3k+5
∴

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2 =(k-2)2-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=-（k+5）²+19
∵△=（k-2）²-4（k²+3k+5）=-3k²-16k-16≥0
∴-4≤k≤-

4

3

∴函數(shù)在[-4，-

4

3

]上是單調(diào)減函數(shù)
∴k=-4時(shí)，

x

2 1

+

x

2 2

取得最大，最大值為18
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，考查二次函數(shù)最值的研究，其中構(gòu)建函數(shù)，確定參數(shù)的范圍是解題的關(guān)鍵．