Question

已知y=f（x）（x≠0）對任意x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（3）若f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，解不等式f（log₂x）＞0．

Answer 1

解：（1）∵任意x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
令x₁=x₂=1
∴f（1）=f（1）+f（1）=2f（1）
∴f（1）=0
證明：（2）∵任意x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
令x₁=x₂=-1，可得，f（1）=2f（-1）=0
∴f（-1）=0
令x₂=-1，則可得，f（-x₁）=f（x₁）+f（-1）=f（x₁）
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
（3）∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)在（-∞，0上是減函數(shù)
∵f（log₂x）＞0=f（1）=f（-1）
∴|log₂x|＞1
∴l(xiāng)og₂x＞1或log₂x＜-1
∴x＞2或
分析：（1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=1可求f（1）
（2）令x₁=x₂=-1，結(jié)合f（1）可求f（-1），x₂=-1，則可得，f（-x₁）=f（x₁）+f（-1）=f（x₁）可證
（3）由f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)可得函數(shù)在（-∞，0上是減函數(shù)，由f（log₂x）＞0=f（1）=f（-1）可得|log₂x|＞1，解不等式可求
點(diǎn)評：本題主要考查了利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，證明函數(shù)為偶函數(shù)及利用偶函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)解對數(shù)不等式．