Question

已知F₁、F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，右焦點F₂（c，0）到上頂點的距離為2，若a²=

6

c
（1）求此橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C交于A、B兩點，若弦AB的中點為P(1，

1

2

)，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

a2= 6 c a=2 a2=b2+c2.

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由弦AB的中點為P(1，

1

2

)，由此利用點差法能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵F₁、F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，
右焦點F₂（c，0）到上頂點的距離為2，且a²=

6

c，
∴

a2= 6 c a=2 a2=b2+c2.

，解得a²=4，b²=

4

3

，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

3y2

4

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵弦AB的中點為P(1，

1

2

)，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
∵A，B都在橢圓C：

x2

4

+

3y2

4

=1上，
∴

x12

4

+

3y12

4

=1，

x 2 2

4

+

3 y 2 2

4

=1，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

3(y1+y2)

=-

2

3

，
∴直線l的方程為：y-

1

2

=-

2

3

（x-1），即4x+6y-7=0．

點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．