Question

12．已知命題P：$\lim_{n→∞}{c^n}=0$，其中c為常數，命題Q：把三階行列式$|{\begin{array}{l}{\;5}&2&{3\;}\\{\;x-c}&6&{4\;}\\{\;1}&8&{x\;}\end{array}}|$中第一行、第二列元素的代數余子式記為f（x），且函數f（x）在$（{-∞\;，\;\frac{1}{4}}]$上單調遞增．若命題P是真命題，而命題Q是假命題，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析 先由已知命題P是真命題，得：c為常數，根據三階行列式中第一行、第二列元素的代數余子式寫出f（x）=-x²+cx-4，結合函數f（x）在上單調遞增．求得c的取值范圍，最后即可解決問題．

解答 解：由已知命題P：$\lim_{n→∞}{c^n}=0$，其中c為常數，是真命題，得：c為常數
三階行列式$|{\begin{array}{l}{\;5}&2&{3\;}\\{\;x-c}&6&{4\;}\\{\;1}&8&{x\;}\end{array}}|$中第一行、第二列元素的代數余子式記為f（x），則f（x）=-x²+cx+4，
且函數f（x）在上單調遞增．
∴函數f（x）在$（{-∞\;，\;\frac{1}{4}}]$上單調遞增，$\frac{c}{2}$≥$\frac{1}{4}$⇒c≥$\frac{1}{2}$，
∵命題Q是假命題，∴c＜$\frac{1}{2}$．
∴命題P是真命題，而命題Q是假命題，
實數c的取值范圍是-1＜c＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了極限及其運算、三階矩陣等，解答的關鍵是條件：“復合命題的真假判斷”的應用．