Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于點(diǎn)M．
（1）求證：AM⊥PD；
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）可通過(guò)證明PD⊥平面ABM由線面垂直的性質(zhì)定理證明AM⊥PD；
（2）法一：求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值，可通過(guò)作出其平面角，解三角形求之．
法二：用向量法給出空間坐標(biāo)系，及各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量的坐標(biāo)以及平面的法向量的坐標(biāo)，再由公式sinα=|

CD • n

| CD || n |

|求出線面角的正弦值，進(jìn)而求出余弦值．

解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，AD∩PA=A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD
∴AB⊥PD，
∵BM⊥PD，AB∩BM=B，AB?平面ABM，BM?平面ABM，∴PD⊥平面ABM．
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD．
（2）解法1：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，
則M是PD的中點(diǎn)，在Rt△PAD中，
得AM=

2

，在Rt△CDM中，得MC=

MD2+DC2

=

3

，
∴S△ACM=

1

2

AM•MC=

6

2

．
設(shè)點(diǎn)D到平面ACM的距離為h，由V_D-ACM=V_M-ACD，
得

1

3

S△ACM•h=

1

3

S△ACD•

1

2

PA．解得h=

6

3

，
設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為θ，則sinθ=

h

CD

=

6

3

，
∴cosθ=

3

3

．
∴直線CD與平面ACM所成的角的余弦值為

3

3

．
解法2：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M（0，1，1）．
∴

AC

=(1，2，0)，

AM

=(0，1，1)，

CD

=(-1，0，0)．
設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n

⊥

AC

，

n

⊥

AM

可得：

x+2y=0 y+z=0.

令z=1，得x=2，y=-1．∴

n

=(2，-1，1)．
設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為α，則sinα=|

CD • n

| CD || n |

|=

6

3

．
∴cosα=

3

3

．∴直線CD與平面ACM所成的角的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間的線面關(guān)系、線面角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算、解三角形等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，本題易因向量法求線面角的公式記憶不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤．