Question

已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)于任意x，y∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，且f（2）=1．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)f（x）在（0，4]的最大值；
（4）求定義在（0，+∞）上的不等式f（3x-2）+f（x）≤4的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇偶性的定義，令y=-1，f（-x）=f（x）+f（-1），所以要求f（-1），并求出f（-1）=0，所以判斷出是偶函數(shù)；
（2）在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，這時(shí)候求f（x₁）-f（x₂），利用f（xy）=f（x）+f（y）有：f（x₁）=f（x₁）+f（

x2

x1

），并根據(jù)條件得到f（

x2

x1

）＞0，從而得到f（x₂）＞f（x₁），這樣就判斷出是增函數(shù)；
（3）跟據(jù)（2）知f（x）在（0，4]上單調(diào)增，所以最大值是f（4），求f（4）即可；
（4）原不等式可變成

3x-2＞0 x＞0 f[(3x-2)x]≤4

，所以需求出4對(duì)應(yīng)的自變量的值，解不等式組即可．

解答： 解：（1）令x=y=1，則f（1•1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0；
再令x=y=-1，則f[（-1）•（-1）]=f（-1）+f（-1），解得f（-1）=0；
對(duì)于條件f（x•y）=f（x）+f（y），令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）；
又函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則有

x2

x1

＞1．又x＞1時(shí)，f（x）＞0，∴f(

x2

x1

)＞0；
∵f(x2)=f(x1)+f(

x2

x1

)，∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0，即f（x₂）＞f（x₁）；
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，∴f（4）=2；
由（2）知f（x）在（0，4]上是增函數(shù)，∴f（x）_max=f（4）=2；
（4）∵f（3x-2）+f（x）=f[（3x-2）x]，4=2+2=f（4）+f（4）=f（16）；
∴原不等式等價(jià)于f[（3x-2）x]≤f（16）；
又不等式是定義在（0，+∞）上，結(jié)合（2）得

3x-2＞0 x＞0 (3x-2)x≤16

；
解得

2

3

＜x≤

8

3

；
∴原不等式的解集是(

2

3

，

8

3

]．

點(diǎn)評(píng)：考查奇偶性的定義，利用條件：f（xy）=f（x）+f（y）的能力，函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，根據(jù)單調(diào)性解不等式．