Question

1．設(shè)正數(shù)a，b滿足ab+a+b-15=0
（1）求ab的最大值；
（2）求4a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正數(shù)a，b滿足ab+a+b-15=0，利用基本不等式的性質(zhì)可得：15$≥ab+2\sqrt{ab}$，解出即可；
（2）由正數(shù)a，b滿足ab+a+b-15=0，化為b=$\frac{15-a}{a+1}$＞0，解得a范圍．變形4a+b=4a+$\frac{15-a}{a+1}$=4（a+1）+$\frac{16}{a+1}$-5，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵正數(shù)a，b滿足ab+a+b-15=0，
∴15$≥ab+2\sqrt{ab}$，化為$（\sqrt{ab}）^{2}+2\sqrt{ab}-15≤$0，解得$0＜\sqrt{ab}≤3$，即0＜ab≤9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)．
∴ab的最大值為9．
（2）由正數(shù)a，b滿足ab+a+b-15=0，化為b=$\frac{15-a}{a+1}$＞0，解得0＜a＜15．
∴4a+b=4a+$\frac{15-a}{a+1}$=4（a+1）+$\frac{16}{a+1}$-5≥4×$2\sqrt{（a+1）•\frac{4}{a+1}}$-5=11，當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=7時(shí)取等號(hào)．
∴4a+b的最小值為11．

點(diǎn)評 本題考查了變形利用基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．