Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中點，求DG與PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G滿足PC⊥面BGD，求 的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；設AC與BD的交點為O，則由條件可得BD是AC的中垂線，故O為AC的中點，且BD⊥AC．再利用直線和平面垂直的判定定理證得BD⊥面PAC．
（Ⅱ）由三角形的中位線性質(zhì)以及條件證明∠DGO為DG與平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的邊角關系求得tan∠DGO的值．
（Ⅲ）先證 PC⊥OG，且 PC==．由△COG∽△PCA，可得，解得GC的值，可得PG=PC-GC 的值，從而求得  的值．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． 
∵AB=BC=2，AD=CD=，設AC與BD的交點為O，則BD是AC的中垂線，故O為AC的中點，且BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（Ⅱ）若G是PC的中點，則GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO為DG與平面PAC所成的角．
由題意可得，GO=PA=．
△ABC中，由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=4+4-2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2，OC=．
∵直角三角形COD中，OD==2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．
（Ⅲ）若G滿足PC⊥面BGD，∵OG?平面BGD，
∴PC⊥OG，且 PC==．
由△COG∽△PCA，可得，即 ，解得GC=，
∴PG=PC-GC=-=，
∴==．
點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應用，求直線和平面所成的角，空間距離的求法，屬于中檔題．