Question

△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，M是AB的中點．將△ACM沿CM折起，使A，B兩點間的距離為 2，此時三棱錐A-BCM的體積等于________．

Answer 1

分析：先在原圖中作AD⊥MC交MC于點D，交BC于E點，將△ACM沿CM折起后，只要證明AE⊥底面BCM即可．
解答：解：由已知得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=2，
由△AMC為等邊三角形，取CM中點，則AD⊥CM，AD交BC于E，則AD=，DE=，
CE=．
折起后，由BC²=AC²+AB²，知∠BAC=90°，
又cos∠ECA=．∴AE²=CA²+CE²-2CA•CEcos∠ECA=，于是AC²=AE²+CE²．?∠AEC=90°．
∵AD²=AE²+ED²，?AE⊥平面BCM，即AE是三棱錐A-BCM的高，AE=．
∴S_△BCM=，
V_A-BCM=．
故答案為．
點評：本題考查由平面圖形折成空間圖形求其體積，求此三棱錐的高是解決問題的關(guān)鍵．本題還可以直接過點A作AE⊥BC交BC于E點，連接ME，證明AE⊥ME，即可說明AE⊥底面BCM．