已知橢圓數(shù)學公式的離心率是數(shù)學公式．
（1）證明：a=2b；
（2）設(shè)點P為橢圓上的動點，點數(shù)學公式，若數(shù)學公式的最大值是數(shù)學公式，求橢圓的方程．

解：（1）證明：設(shè)橢圓的半焦距為c．
因為橢圓的離心率是，所以 ，即a=2b．
（2）設(shè)點P（x，y）．
則=，其中-b≤y≤b．
①若2，則當y=-b3時，4取得最大值．
由題設(shè)，，，這與矛盾．
②若，則當時，取得最大值．
由題設(shè)，，解得b=1，從而a=2．
故橢圓方程為．
分析：（1）根據(jù)離心率為=以及c2=a2-b2，即可證明結(jié)論．
（2）設(shè)P（x，y）由//的最大值為，求得b的值，從而求得橢圓方程．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)，并滲透了向量、函數(shù)最值等問題，此題要注意對b的范圍進行分類討論，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線l與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于不同的兩點M，N，過點M，N作x軸的垂線，垂足恰好是橢圓的兩個焦點，已知橢圓的離心率是
2
2
，直線l的斜率存在且不為0，那么直線l的斜率是
±
2
2
±
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年臨川二中新余四中高三暑假聯(lián)考文科數(shù)學卷 題型：解答題

已知橢圓的離心率是，右焦點到上頂點的距離為，點是線段上的一個動點.

（1）求橢圓的方程;

(2)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點,使得,并說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年黑龍江省高二上學期期末考試數(shù)學文卷 題型：解答題

、已知橢圓的離心率是，長軸長是為6，

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與交于兩點，已知點的坐標為，求直線的方程。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

直線l與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于不同的兩點M，N，過點M，N作x軸的垂線，垂足恰好是橢圓的兩個焦點，已知橢圓的離心率是
2
2
，直線l的斜率存在且不為0，那么直線l的斜率是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年北京市西城區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率是．
（1）證明：a=2b；
（2）設(shè)點P為橢圓上的動點，點，若的最大值是，求橢圓的方程．

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