【題目】如圖,在三棱錐S-ABC中,SA ⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC ⊥AB,D,E分別是AC,BC的中點(diǎn),F在SE上,且SF=2FE.
(Ⅰ)求異面直線AF與DE所成角的余弦值;
(Ⅱ)求證:AF⊥平面SBC;
(Ⅲ)設(shè)G為線段DE的中點(diǎn),求直線AG與平面SBC所成角的余弦值。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)由題意可知DE∥AB,故∠FAB或其補(bǔ)角為異面直線AF與DE所成角;
(Ⅱ)由(I)知AF⊥SE,易證BC⊥AF,從而AF⊥平面SBC;
(Ⅲ)延長(zhǎng)AG交BC于P點(diǎn),連結(jié)PF. 由(II)知AF⊥平面SBC,所以PF為AP在平面SBC上的投影,故∠APF即為直線AG與平面SBC所成角
解(I).連結(jié)BF.
在△ABC中,D,E分別是AC,BC的中點(diǎn),
∴DE∥AB,
∴∠FAB或其補(bǔ)角為異面直線AF與DE所成角
由AC=AB=SA=2,AC⊥AB,E是BC的中點(diǎn),得AE=
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AE.
在Rt△SAE中,SE=,可得
∵SA⊥底面ABC,∴.SA⊥BC,又BC⊥AE,
∴BC⊥平面SAE,
∴BC⊥SE,
∵
∴BF=
∴
即異面直線AF與DE所成角的余弦值。
(II).由(I)知,∴AF⊥SE.
∵BC⊥平面SAE,所以BC⊥AF.
又SEBC=E,.AF⊥平面SBC.
(III).延長(zhǎng)AG交BC于P點(diǎn),連結(jié)PF.
由(II)知AF⊥平面SBC,∴PF為AP在平面SBC上的投影,
∴∠APF即為直線AG與平面SBC所成角
∵G為線段DE的中點(diǎn),
∴CP=2PE,又SF=2FE,
.∴
,
即直線AG與平面SBC所成角的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(a,b為常數(shù)),
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)在(1)的條件下,有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求b的取值范圍;
(3)若對(duì)任意的,不等式在上恒成立,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí),面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng),應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的條件下,該縣決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn),求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列,等差數(shù)列滿足,且是與的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),,,.
(1)求證:平面平面;
(2)若為棱的中點(diǎn),求異面直線與所成角的余弦值;
(3)若二面角大小為,求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),AB=2,∠BAD=60°,M是PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:OM∥平面PAB;
(Ⅱ)平面PBD⊥平面PAC;
(Ⅲ)當(dāng)三棱錐C﹣PBD的體積等于 時(shí),求PA的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點(diǎn),分別為棱,的中點(diǎn),點(diǎn)為上底面的中心,過(guò),,三點(diǎn)的平面把正方體分為兩部分,其中含的部分為,不含的部分為,連結(jié)和的任一點(diǎn),設(shè)與平面所成角為,則的最大值為
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線切于點(diǎn),求的值;
(Ⅲ)若恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)表如下:
第一行:1
第二行:12
第三行:1123
第四行:11211234
第五行:1121123112112345
…
第k行:先抄寫第1行,接著按原序抄寫第2行,然后按原序抄寫第3行,…,直至按原序抄寫第k﹣1行,最后添上數(shù)k.(如第四行,先抄寫第一行的數(shù)1,接著按原序抄寫第二行的數(shù)1,2,接著按原序抄寫第三行的數(shù)1,1,2,3,最后添上數(shù)4).將按照上述方式寫下的第n個(gè)數(shù)記作(如,…),用表示數(shù)表第行的數(shù)的個(gè)數(shù),求數(shù)列{}的前項(xiàng)和=____
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