Question

橢圓的中心在原點，其左焦點F₁與拋物線y²=-4x的焦點重合，過F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點，與拋物線交于C，D兩點．當直線l與x軸垂直時，．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求過點O，F(xiàn)₁，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；
（Ⅲ）求的最值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）又拋物線方程求橢圓中c的值，再根據(jù)橢圓與拋物線的通徑比求出a，b關系式，橢圓方程可解．
（Ⅱ）由圓過點O，F(xiàn)₁可得圓心橫坐標值，再根據(jù)圓與與橢圓的左準線相切，可求出半徑．
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，得x₁x₂與x₁+x₂，再代入，化簡，即可得到關于k的式子，其范圍也就是的范圍．進而求出最值．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的中心在原點，其左焦點F₁與拋物線y²=-4x的焦點重合，∴c=1
∵過F₁的直線l與橢圓交于A，B兩點，與拋物線交于C，D兩點．當直線l與x軸垂直時，∴AB為橢圓通徑，CD為拋物線通經(jīng)，
∵，∴=，b²=a，∵a²=b²+c²，得a=，b=1，∴所求橢圓方程為
（Ⅱ）∵所求圓過點O，F(xiàn)₁，可設坐標為（-，n），∵圓與橢圓的左準線相切，∴半徑r=--（-2）=
∴，n=，∴所求圓方程為．
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①當直線l斜率存在時，設方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，得，
∴x₁x₂=，x₁+x2=..=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂==--
∵k²∈[0，+∞），∴∈[-1，）
②當直線l斜率不存在時，可得�。�-1，）B（-1，-），此時，=．
綜上，∈【-1，】．∴最大值為，最小值為-1．
點評：本題考查了橢圓，拋物線與直線的綜合應用，屬常規(guī)題，應當掌握解法．