Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：①當x=1時有極值；②圖象與y軸交點的縱坐標為﹣3，且在該點處的切線與直線x=2y﹣4垂直．

（1）求f（1）的值；

（2）若函數(shù)g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點處的切線斜率恒大于a2﹣a﹣2，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（I）-4；（II）0≤a≤1．

【解析】

試題分析：（1）由已知可利用待定系數(shù)法，首先設(shè)二次函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=ax2+bx+c，，結(jié)合已知的兩個條件及導數(shù)的幾何意義，求出f（x）的表達式，從而可求f（1）的值；

（2）首先求出g（x）的表達式，利用導數(shù)求出切線斜率，結(jié)合一元二次不等式的解法即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，

∵x=1時有極值，∴對稱軸為1，即，

由②知f（0）=c=-3，在（0，-3）處的切線斜率，

又在該點處的切線與直線x=2y-4垂直，故b=-2，

解得a=1，則f（x）=x2-2x-3，

則f（1）=-4；

（2）若函數(shù)g（x）=f（lnx）=（lnx）2-2lnx-3，

令t=lnx，

則∵x∈（1，+∞），∴t∈（0，+∞），

∴f（t）=t2-2t-3，f′（t）=2t-2＞-2，

若函數(shù)g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點處的切線斜率恒大于a2-a-2，

則f′（t）＞a2-a-2恒成立，即a2-a-2≤-2，

即a2-a≤0，解得0≤a≤1．

考點：１．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；2．導數(shù)的幾何意義．