Question

已知{a_n}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=2n+a（n∈N^*）．
（1）求a的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=2+a≠0．…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1．…（3分）
因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列，
所以a1=2+a=21-1=1，即a₁=1．a(chǎn)=-1．…（5分）
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2n-1（n∈N^*）．…（6分）
（2）由（1）得bn=nan=n•2n-1，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
則Tn=1×1+2×2+3×22+4×23+…+n•2n-1．①
2Tn= 1×2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n．②
①-②得 -Tn=1×1+1×2+1×22+…+1×2n-1-n•2n…（9分）
=1+（2+2²+…+2^n-1）-n•2ⁿ=1-2（1-2^n-1）-n•2ⁿ…（11分）
=-（n-1）•2ⁿ-1．…（12分）
所以Tn=(n-1)•2n+1．…（13分）