Question

已知．
（Ⅰ）判斷曲線y=f（x）在x=0的切線能否與曲線y=e^x相切？并說明理由；
（Ⅱ）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（Ⅲ）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出曲線y=f（x）在x=0的切線方程，假設(shè)切線與曲線y=e^x相切，設(shè)出切點，由斜率相等及切點在切線上聯(lián)立推出矛盾；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在[a，2a]上的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)f（x）先增后減，有最大值，若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），則最大值大于0，又f（a）＞0且a＜alna，所以得到x₂-x₁＞alna-a，把x₁，x₂代入原函數(shù)得到，，作比后利用放縮可證得要求證的不等式．
解答：（Ⅰ）解：由，得：，則，f（0）=-1．
∴曲線y=f（x）在x=0的切線l的方程為．
若l與曲線y=e^x相切，設(shè)切點為（x，y），則①．
由a＞0，得：0＜，∴x＜0，
由①得．與x＜0矛盾．
∴曲線y=f（x）在x=0的切線不能與曲線y=e^x相切．
（Ⅱ）解：令f^′（x）=0，得，即x=alna．
由f^′（x）＞0，得x＜alna，由f^′（x）＜0，得：x＞alna．
∴f（x）在（-∞，alna]上為增函數(shù)，在[alna，+∞）上為減函數(shù)．
∴當a＞alna，即a＜e時，f（x）_max=f（a）=a-e．
當a≤alna≤2a，即e≤a≤e²時，f（x）_max=f（alna）=alna-a．
當2a＜alna，即a＞e²時，．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知f（x）_max=f（alna）=alna-a．
∵f（x₁）=f（x₂）=0，∴f（x）_max=f（alna）=alna-a＞0．
∴l(xiāng)na＞1，得：a＞e，∴f（a）=a-e＞0，且f（alna）＞0．
得x₂-x₁＞alna-a，又，，
∴．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，特別是（Ⅲ）的證明涉及到放縮法的思想，是該題的難點所在，此題屬有一定難度問題．