Question

4．已知x∈R⁺，函數(shù)f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），f（$\frac{2}{x}$）=-f（2x），若x∈[1，2]時，f（x）=（x-1）（x-2），則函數(shù)y=f（x）+$\frac{1}{4}$在區(qū)間[1，100]內零點的個數(shù)為4．

Answer 1

分析 由條件，將x換為2x，可得f（x）=f（4x），分別求得區(qū)間[2，4]，[4，8]，[8，16]，[16，32]，[32，64]，[64，128]內的函數(shù)的解析式，再由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解方程即可判斷零點的個數(shù)．

解答 解：函數(shù)f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），f（$\frac{2}{x}$）=-f（2x），
即有f（$\frac{1}{2x}$）=-f（2x），則f（$\frac{2}{x}$）=f（$\frac{1}{2x}$），
即為f（x）=f（4x），
當x∈[1，2]時，f（x）=（x-1）（x-2），
當$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$時，1≤4x≤2，f（4x）=（4x-1）（4x-2），
即f（x）=（4x-1）（4x-2）；
當$\frac{1}{2}$≤x≤1時，1≤$\frac{1}{x}$≤2，f（x）=-f（$\frac{1}{x}$）=-（$\frac{1}{x}$-1）（$\frac{1}{x}$-2）；
當2≤x≤4時，$\frac{1}{2}$≤$\frac{x}{4}$≤1，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=-（$\frac{4}{x}$-1）（$\frac{4}{x}$-2）；
當4≤x≤8時，1≤$\frac{x}{4}$≤2，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=（$\frac{x}{4}$-1）（$\frac{x}{4}$-2）；
當8≤x≤16時，2≤$\frac{x}{4}$≤4，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=-（$\frac{16}{x}$-1）（$\frac{16}{x}$-2）；
當16≤x≤32時，4≤$\frac{x}{4}$≤8，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=（$\frac{x}{16}$-1）（$\frac{x}{16}$-2）；
當32≤x≤64時，8≤$\frac{x}{4}$≤16，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=-（$\frac{64}{x}$-1）（$\frac{64}{x}$-2）；
當64≤x≤128時，16≤$\frac{x}{4}$≤32，f（x）=f（$\frac{x}{4}$）=（$\frac{x}{64}$-1）（$\frac{x}{64}$-2）．
令y=f（x）+$\frac{1}{4}$=0，即為f（x）=-$\frac{1}{4}$，
當x∈[1，2]時，f（x）=（x-1）（x-2），由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=$\frac{3}{2}$；
同理當x∈[4，8]時，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=6；
當x∈[16，32]時，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=24；
當x∈[64，100]時，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，解得x=96；
當2≤x≤4時，f（x）=-（$\frac{4}{x}$-1）（$\frac{4}{x}$-2），由f（x）=-$\frac{1}{4}$，x∈∅；
同理8≤x≤16時，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，x∈∅；
32≤x≤64時，由f（x）=-$\frac{1}{4}$，x∈∅．
綜上可得，函數(shù)y=f（x）+$\frac{1}{4}$在區(qū)間[1，100]內零點的個數(shù)為4．
故答案為：4．

點評 本題考查函數(shù)的零點的個數(shù)的求法，注意運用函數(shù)方程的轉化思想，同時考查函數(shù)的解析式的求法，考查運算能力，屬于中檔題．