Question

（2012•安徽模擬）已知函數f（x）=（x²-ax）e^x（x∈R），a為實數．
（Ⅰ）當a=0時，求函數f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上為減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先利用導數的四則運算求函數f（x）的導函數f′（x），再解不等式f′（x）＞0即可得函數的單調增區(qū)間；
（II）先利用導數的四則運算求函數f（x）的導函數f′（x），再將f（x）在閉區(qū)間[-1，1]上為減函數問題轉化為導函數f′（x）≤0在閉區(qū)間[-1，1]上恒成立問題，進而利用二次函數的圖象和性質得a的范圍

解答：解：（I）當a=0時，f（x）=x²e^x
f′（x）=2xe^x+x²e^x=（x²+2x）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞0或x＜-2
故f（x）單調增區(qū)間為（0，+∞）和（-∞，-2）
（II）由f（x）=（x²-ax）e^x，x∈R
得f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x
記g（x）=x²+（2-a）x-a，
依題x∈[-1，1]時，g（x）≤0恒成立，結合g（x）的圖象特征
得

g(1)=3-2a≤0 g(-1)=-1≤0

即a≥

3

2

，
∴a的取值范圍[

3

2

，+∞)．

點評：本題主要考查了導數在函數單調性中的重要應用，導數四則運算，不等式恒成立問題的解法，轉化化歸的思想方法