Question

如圖所示，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段CD上，設(shè)

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AF

=x

a

+y

b

，則

1

x

+

2

y

的最小值為（　　）

• A、8+2

  2

• B、8
• C、6
• D、6+2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由D為AB的中點(diǎn)，可得

AB

=2

AD

．由

AF

=x

a

+y

b

，可得

AF

=2x

AD

+y

AC

，由F在線段CD上，利用向量共線定理可得2x+y=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵D為AB的中點(diǎn)，
∴

AB

=2

AD

．
∵

AF

=x

a

+y

b

，
∴

AF

=2x

AD

+y

AC

，
∵F在線段CD上，
∴2x+y=1．
又x，y＞0．
∴

1

x

+

2

y

=（2x+y）(

1

x

+

2

y

)=4+

y

x

+

4x

y

≥4+2

y x • 4x y

=8，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=

1

2

時(shí)取等號．
∴

1

x

+

2

y

的最小值為8．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了向量共線定理、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．