Question

設(shè)A，B，C∈（0，

π

2

），且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，則B-A等于（　　）

• A．-

  π

  3

• B．

  π

  3

• C．-

  π

  6

• D．

  π

  3

  或-

  π

  3

Answer 1

分析：由已知的兩等式分別表示出sinC和cosC，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到sin²C+cos²C=1，將表示出的sinC和cosC代入利用完全平方公式展開，并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，求出cos（A-B）的值，由正弦定理化簡sinC=sinA-sinB得：c=a-b＞0，即a＞b，再利用大邊對(duì)大角得到A大于B，即A-B大于0，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A-B的度數(shù)，進(jìn)而確定出B-A的度數(shù)．

解答：解：∵sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，
∴sinC=sinA-sinB，cosC=cosB-cosA，
又sin²C+cos²C=1，
∴（sinA-sinB）²+（cosB-cosA）²=1，
即sin²A-2sinAsinB+sin²B+cos²B-2cosAcosB+cos²A=1，
整理得：cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=

1

2

，
由正弦定理化簡sinC=sinA-sinB得：c=a-b＞0，即a＞b，
又A，B，C∈（0，

π

2

），
∴0＜A-B＜

π

2

，
則A-B=

π

3

，即B-A=-

π

3

．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．