Question

【題目】如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，E、F、H分別為AP、AB、AC的中點(diǎn)，PF交BE于點(diǎn)M，CF交BH于點(diǎn)N，，．

求證：平面BEH；

求證：；

求直線PA與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）。

【解析】

（1）推導(dǎo)出BH⊥AC，EH⊥AC，由此能證明AC⊥平面BEH．

（2）推導(dǎo)出N是△ABC的重心，M是△ABP的重心，從而，由此能證明PC∥MN．

（3）取BH的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，推導(dǎo)出EG⊥BH，EG⊥AC，EG⊥平面ABC，從而∠EAG是PA與平面ABC所成角，由此能求出直線PA與平面ABC所成角的正弦值．

證明：是邊長(zhǎng)為2的正三角形，H是AC中點(diǎn)，

，

，E、H分別為AP、AC的中點(diǎn)，

，，

，平面BEH．

證明：交BE于點(diǎn)M，CF交BH于點(diǎn)N，

是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，E、F、H分別為AP、AB、AC的中點(diǎn)，

是的重心，，M是的重心，，

，．

取BH的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，

，，

平面BEH，，平面ABC，

是PA與平面ABC所成角，

在中，，，，

直線PA與平面ABC所成角的正弦值為．