Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，

（Ⅰ） 若a =1，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）如果當(dāng)且時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時，增區(qū)間為；

當(dāng)時，增區(qū)間為，增區(qū)間為；

（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：由題，

（Ⅰ）當(dāng) a =1時，，，

函數(shù)的圖像在點處的切線方程為；

（Ⅱ）設(shè)

①當(dāng)時，故增區(qū)間為；

若設(shè)設(shè)兩根分別為，

② 當(dāng)時，，所以增區(qū)間為；

③當(dāng)時，，所以增區(qū)間為，增區(qū)間為；

綜上，當(dāng)時，增區(qū)間為；

當(dāng)時，增區(qū)間為，增區(qū)間為；

（Ⅲ）可化為，設(shè)由（Ⅱ）可知：

①若有，由單調(diào)性，對，此時，，

同理，對，此時，，

所以符合題意；

②若有，可知則對，此時，，

不符合題意；

綜上，符合題意的。

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；曲線的切線方程的求法；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。

點評：①我們要靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程，尤其要注意切點這個特殊點，充分利用切點即在曲線方程上，又在切線方程上，切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率這些條件列出方程組求解。②利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，一定要先求函數(shù)的定義域。