【題目】已知橢圓C：x2+4y2=4．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）橢圓C的長軸的兩個端點分別為A，B，點P在直線x=1上運動，直線PA，PB分別與橢圓C相交于M，N兩個不同的點，求證：直線MN與x軸的交點為定點．

【答案】
（1）解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ，

則a=2，b=1，則c= ，

∴橢圓的離心率e= =


（2）證明：∵橢圓C的左，右頂點分別為A，B，點P是直線x=1上的動點，

∴A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)P（1，t），

則kPA= = ，直線PA：y= （x+2），

聯(lián)立得： 整理，得（4t2+9）x2+16t2x+16t2﹣36=0，

﹣2xM= ，則xM= ，yM= （xM+2）= ，

則M（ ， ），

同理得到N（ ， ）

由橢圓的對稱性可知這樣的定點在x軸，

不妨設(shè)這個定點為Q（m，0），

又kMQ= ，kNQ= ，

∵kMQ=kNQ，

∴（8m﹣32）t2﹣6m+24=0，m=4．

∴直線MN經(jīng)過一定點Q（4，0），

直線MN與x軸的交點為定點Q（4，0）．


【解析】（1）求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則a=2，b=1，則c= ，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓C的離心率；（2）設(shè)P（1，t），由已知條件分別求出M，N的坐標(biāo)，設(shè)定點為Q，再由kMQ=kNQ，能證明直線MN經(jīng)過一定點Q（4，0）．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見》，某校計劃開設(shè)八門研學(xué)旅行課程，并對全校學(xué)生的選課意向進行調(diào)查（調(diào)查要求全員參與，每個學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程）．本次調(diào)查結(jié)果如下．圖中，課程A，B，C，D，E為人文類課程，課程F，G，H為自然科學(xué)類課程．為進一步研究學(xué)生選課意向，結(jié)合上面圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組（以下簡稱“組M”）．
（Ⅰ）在“組M”中，選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少？
（Ⅱ）某地舉辦自然科學(xué)營活動，學(xué)校要求：參加活動的學(xué)生只能是“組M”中選擇F課程或G課程的同學(xué)，并且這些同學(xué)以自愿報名繳費的方式參加活動．選擇F課程的學(xué)生中有x人參加科學(xué)營活動，每人需繳納2000元，選擇G課程的學(xué)生中有y人參加該活動，每人需繳納1000元．記選擇F課程和G課程的學(xué)生自愿報名人數(shù)的情況為（x，y），參加活動的學(xué)生繳納費用總和為S元．
（�。┊�(dāng)S=4000時，寫出（x，y）的所有可能取值；
（ⅱ）若選擇G課程的同學(xué)都參加科學(xué)營活動，求S＞4500元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ ，g（x）=ax+b．
（1）若函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若直線g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx﹣ 圖象的切線，求a+b的最小值；
（3）當(dāng)b=0時，若f（x）與g（x）的圖象有兩個交點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），求證：x1x2＞2e2 ．
（取e為2.8，取ln2為0.7，取 為1.4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中．點M不與點O重合，稱射線OM與圓x2+y2=1的交點N為點M的“中心投影點“． ⑴點M（1， ）的“中心投影點”為
⑵曲線x2 上所有點的“中心投影點”構(gòu)成的曲線的長度是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，他在《數(shù)學(xué)九章》中提出的多項式的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法，如圖是事項該算法的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸入n，x的值分別為4，2，則輸出v的值為（ ）
A.5
B.12
C.25
D.50

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中， ，AB=AC=AA1=1，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點（不包括端點），若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍為（ ）
A.[ ，1）
B.[ ，1]
C.（ ，1）
D.[ ，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，頂角D1在底面ABCD內(nèi)的射影恰好為點C．
（1）求證：AD1⊥BC；
（2）若直線DD1與直線AB所成角為 ，求平面ABC1D1與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值函數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)x，y∈R，定義xy=x（a﹣y）（a∈R，且a為常數(shù)），若f（x）=ex ， g（x）=e﹣x+2x2 ， F（x）=f（x）g（x）．
①g（x）不存在極值；
②若f（x）的反函數(shù)為h（x），且函數(shù)y=kx與函數(shù)y=|h（x）|有兩個交點，則k= ；
③若F（x）在R上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2]；
④若a=﹣3，在F（x）的曲線上存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直．
其中真命題的序號有 ． （把所有真命題序號寫上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某油庫的設(shè)計容量是30萬噸，年初儲量為10萬噸，從年初起計劃每月購進石油m萬噸，以滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸，區(qū)域外前x個月的需求量y（萬噸）與x的函數(shù)關(guān)系為y= （p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4個月，區(qū)域外的需求量為20萬噸．
（1）試寫出第x個月石油調(diào)出后，油庫內(nèi)儲油量M（萬噸）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要使16個月內(nèi)每月按計劃購進石油之后，油庫總能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，且每月石油調(diào)出后，油庫的石油剩余量不超過油庫的容量，試確定m的取值范圍．

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