是否同時(shí)存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說(shuō)明理由．
（1）漸近線方程為x+2y=0，x-2y=0；
（2）點(diǎn)A（5，0）到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P的距離最小值為
6
．
分析：根據(jù)雙曲線和其漸近線之間的關(guān)系，設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)點(diǎn)A（5，0）到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P的距離最小值為
6
，轉(zhuǎn)化為雙曲線與半徑為
6
的圓A相切，聯(lián)立消去y得，利用△=0即可求得雙曲線的方程．
解答：解：由漸近線方程為x±2y=0，設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=m，∵點(diǎn)A（5，0）到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P的距離的最小值為
6
，
說(shuō)明雙曲線與半徑為
6
的圓A相切，
∵圓A方程為（x-5）2+y2=6，與x2-4y2=m聯(lián)立消去y得：4（x-5）2+x2=24+m 化簡(jiǎn)得到：5x2-40x+76-m=0，△=402-4×5×（76-m）=0，
解得m=-4 所以滿足條件的雙曲線方程為x2-4y2=-4，
即y2-
x2
4
=1．
或者雙曲線的頂點(diǎn)在（5+
6
，0）漸近線為x±2y=0，雙曲線方程為：
x2
31+10
6
-
4y2
31+10
6
=1．
所以所求雙曲線方程為：y2-
x2
4
=1，
x2
31+10
6
-
4y2
31+10
6
=1．
點(diǎn)評(píng)：考查雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，特別是雙曲線方程與其漸近線方程之間的關(guān)系，已知雙曲線的方程求其漸近線方程時(shí)，令
x2
a2
-
y2
b2
=0即可，反之，如此題設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=m，避免了討論，條件（2）的設(shè)置增加了題目的難度，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

是否存在同時(shí)滿足下列條件的雙曲線？若存在，請(qǐng)求出其方程，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線平行于X軸；
（2）離心率e=
5
2
；
（3）點(diǎn)A（0，5）到雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P的最小值為2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+bsinx，當(dāng)x=
π
3
時(shí)，f（x）取得極小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；
②對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）≥F（x）．則稱(chēng)直線l為曲線S的“上夾線”．
試證明：直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．
（3）記h(x)=
1
8
[5x-f(x)]，設(shè)x1是方程h（x）-x=0的實(shí)數(shù)根，若對(duì)于h（x）定義域中任意的x2、x3，當(dāng)|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時(shí)，問(wèn)是否存在一個(gè)最小的正整數(shù)M，使得|h（x3）-h（x2）|≤M恒成立，若存在請(qǐng)求出M的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

是否同時(shí)存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說(shuō)明理由．
（1）漸近線方程為x+2y=0，x-2y=0；
（2）點(diǎn)A（5，0）到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P的距離最小值為數(shù)學(xué)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備（第62課時(shí)）：第八章 圓錐曲線方程-雙曲線（解析版） 題型：解答題

是否同時(shí)存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說(shuō)明理由．
（1）漸近線方程為x+2y=0，x-2y=0；
（2）點(diǎn)A（5，0）到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P的距離最小值為．

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