Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：3?2^-1+4?2^-2+5?2^-3+…+（n+2）?2^-n=4-．（n∈N*）

Answer 1

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左端=，右端=4-=，左端=右端，等式成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即3?2^-1+4?2^-2+5?2^-3+…+（k+2）?2^-k=4-，
那么，n=k+1時(shí)，
3?2^-1+4?2^-2+5?2^-3+…+（k+2）?2^-k+[（k+1）+2]•2^-（k+1）=4-+[（k+1）+2]•2^-（k+1）=4-+=4-=4-，
即n=k+1時(shí)，等式也成立；
綜合（1）（2）可知，對(duì)任意n∈N*，等式成立．
分析：當(dāng)n=1時(shí)，將n=1分別代入左端與右端，觀察兩端是否相等；假設(shè)n=k時(shí)等式成立，證明n=k+1時(shí)等式也成立即可（需用上歸納假設(shè)）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，關(guān)鍵是由n=k時(shí)等式成立去證明“n=k+1時(shí)，等式也成立”時(shí)需用好歸納假設(shè)，屬于中檔題．