Question

假設(shè)電梯在每層停的概率相等且相互獨(dú)立，則十層電梯從低層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？數(shù)學(xué)期望是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率,離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：由于電梯在每層停的概率相等且相互獨(dú)立，十層電梯從低層到頂層停不少于3次，包括停3次，停4次，停5次，…直到停9次，根據(jù)相互獨(dú)立事件概率加法公式，我們計(jì)算出停3次，停4次，…，停9次的概率，進(jìn)而即可得到答案．設(shè)從低層到頂層停k次，我們易計(jì)算其概率，根據(jù)組合數(shù)公式，易分析出結(jié)論，又由各層停的概率均為

1

2

，根據(jù)二項(xiàng)分布公式，易得到其數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：依題意，從低層到頂層停不少于3次，應(yīng)包括停3次，停4次，停5次，…直到停9次（2分）
∴從低層到頂層停不少于3次的概率
P=

C

3 9

(

1

2

)3(

1

2

)6+

C

4 9

(

1

2

)4(

1

2

)5+

C

5 9

(

1

2

)5(

1

2

)4+…+

C

9 9

(

1

2

)9  =

(C

3 9

+

C

4 9

+

C

5 9

+…+

C

9 9

)(

1

2

)9=

233

256

（6分）
設(shè)從低層到頂層停k次，則其概率為

C

k 9

(

1

2

)k(

1

2

)9-k=

C

k 9

(

1

2

)9  ，
∴當(dāng)k=4或k=5時(shí)，C₉^k最大，即

C

k 9

(

1

2

)9  最大．（9分）
其分布為二項(xiàng)分布，所以E（ξ）=9•

1

2

=

9

2

答：從低層到頂層停不少于3次的概率為

233

256

，停4次或5次概率最大，其數(shù)學(xué)期望為

9

2

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望，要想計(jì)算一個(gè)事件的概率，首先我們要分析這個(gè)事件是分類(lèi)的（分幾類(lèi)）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進(jìn)行求解．