Question

（2011•浦東新區(qū)三模）已知虛數(shù)z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，
（1）若|z1-z2|=

2

5

5

，求cos（α-β）的值；
（2）若z₁，z₂是方程3x²-2x+c=0的兩個根，求實數(shù)c的值．

Answer 1

分析：（1）利用復(fù)數(shù)z=a+bi的模|z|=

a2+b2

代入|z1-z2|=

2

5

5

再結(jié)合兩角差的余弦公式即可求解．
（2）由于z₁，z₂是方程3x²-2x+c=0的兩個復(fù)數(shù)根故z1=

.

z2

則可得cosα=cosβ，sinα=-sinβ再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求出c．

解答：解（1）∵z₁-z₂=（cosα-cosβ）+i（sinα-sinβ），…（2分）
∵|z1-z2|=

2

5

5

，∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2 5

5

，…（5分）
∴cos（α-β）=

2- 4 5

2

=

3

5

．…（6分）
（2）由題意可知cosα=cosβ，sinα=-sinβ   …（8分）
且z1•z2=

c

3

=cos2α+sin2α=1…（10分）
∴c=3，經(jīng)檢驗滿足題意．    …（12分）

點評：本題主要考查了復(fù)數(shù)模的概念和復(fù)數(shù)的相等．解題的關(guān)鍵是第一問要利用模的概念根據(jù)條件|z1-z2|=

2

5

5

得出α，β的關(guān)系式再結(jié)合兩角差的余弦公式求解而第二問要明白一元二次方程的復(fù)數(shù)根是成對出現(xiàn)的并且是共軛復(fù)數(shù)！