Question

已知直線l：kx-y+1+2k=0．
（1）證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；
（2）若直線l交x負(fù)半軸于A，交y正半軸于B，△AOB的面積為S，試求S的最小值并求出此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）直線l過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明定點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)k無(wú)關(guān)，故讓k的系數(shù)為0 可得定點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求出A、B的坐標(biāo)，代入三角形的面積公式化簡(jiǎn)，再使用基本不等式求出面積的最小值，
注意等號(hào)成立條件要檢驗(yàn)，求出面積最小時(shí)的k值，從而得到直線方程．

解答：解：（1）證明：由已知得k（x+2）+（1-y）=0，
∴無(wú)論k取何值，直線過(guò)定點(diǎn)（-2，1）．
（2）令y=0得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2-

1

k

，0），
令x=0得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2k+1）（k＞0），
∴S_△AOB=

1

2

|-2-

1

k

||2k+1|
=

1

2

（2+

1

k

）（2k+1）=（4k+

1

k

+4）
≥

1

2

（4+4）=4．
當(dāng)且僅當(dāng)4k=

1

k

，即k=

1

2

時(shí)取等號(hào)．
即△AOB的面積的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為

1

2

x-y+1+1=0．
即x-2y+4=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查過(guò)定點(diǎn)的直線系方程特征，以及利用基本不等式求式子的最小值．