Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=x²﹣2x，若對(duì)任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，
使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)，
∴（x＞0）．
∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即，
解得．
（Ⅱ）（x＞0）．
①當(dāng)a≤0時(shí)，x＞0，ax﹣1＜0，
在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．
②當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間（0，2）和上，f'（x）＞0；
在區(qū)間上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）和，單調(diào)遞減區(qū)間是
③當(dāng)時(shí)，，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
④當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在區(qū)間上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．
由已知，g（x）_max=0，由（Ⅱ）可知，
①當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
故f（x）_max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，
所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，
故．
②當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故．
由可知，
2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，
所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x） _max＜0，
綜上所述，a＞ln2﹣1．