Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

2an

an+2

an+1(n∈N*)，且a1=

1

1006

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）若bn=

2-2010an

an

，且cn=bn•(

1

2

)n(n∈N*)，求和T_n=c₁+c₂+…+c_n；
（Ⅲ）比較Tn與

5n

2n+1

的大小，并予以證明．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵

2an

an+2

=an+1，an≠0?

1

an+1

=

1

an

+

1

2

數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為

1

a1

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，…（2分）
故

1

an

=

1

a1

+(n-1)•

1

2

=

2+(n-1)a1

2a1

因?yàn)閍₁=

1

1006

所以數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

2a1

(n-1)a1+2

=

2

n+2011

．（4分）
（Ⅱ）將a_n代入b_n可求得b_n=

2-2010× 2 n+2011

2 n+2011

=n+1，
所以cn=bn•(

1

2

)n=(n+1)(

1

2

)n…（5分）
T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n①

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n+1)(

1

2

)n+1②…（7分）
由①-②得

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n-1)(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)(

1

2

)n+1=

3

2

-

n+3

2n+1

∴T_n=3-

n+3

2n

…（9分）
（Ⅲ）T_n-

5n

2n+1

=3-

n+3

2n

-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

于是確定T_n與

5n

2n+1

的大小關(guān)系等價(jià)于比較2ⁿ與2n+1的大小
當(dāng)n=1時(shí)，T_n=3-

n+3

2n

=3-2=1，

5n

2n+1

=

5

3

，T_n＜

5n

2n+1

，
當(dāng)n=2時(shí)，T_n=3-

n+3

2n

=3-

5

4

=

7

4

，

5n

2n+1

=2，T_n＜

5n

2n+1

，
當(dāng)n=3時(shí)，2³=8＞2×3+1=7，
當(dāng)n=4時(shí)，2⁴=16＞2×4+1=9，
…
可猜想當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ＞2n+1…（11分）
證明如下：
（1）當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立，
（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，即2^k＞2k+1
則n=k+1時(shí)2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立
綜合（1）（2）可知，對(duì)一切n≥3的正整數(shù)，都有2ⁿ＞2n+1…（12分）
綜上所述，當(dāng)n=1，2時(shí)，T_n＜

5n

2n+1

，
當(dāng)n≥3時(shí)，T_n＞

5n

2n+1

．…（13分）