Question

已知函數(shù)f（x）=

a•2x-2+a

2x+1

（a∈R）．
（1）試判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）若f（x）為定義域上的奇函數(shù)，
①當x∈[-1，1]時，求函數(shù)f（x）的值域；
②求滿足f（ax）≤f（2a-x）的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)是增函數(shù)．
（2）利用f（x）為定義域上的奇函數(shù)，由f（0）=0，確定a，
①利用函數(shù)的單調(diào)性求值域．②利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
證明：∵f（x）=

a•2x-2+a

2x+1

=

a(2x+1)-2

2x+1

=a-

2

2x+1

，
∴在定義域上任意設(shè)兩個實數(shù)x₁，x₂，設(shè)x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-(a-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x20，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）∵f（x）的定義域為R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=

2a-2

2

=a-1=0，解得a=1，經(jīng)檢驗符合．
∴f（x）=

2x-1

2x+1

．
①∵f（x）在R上是增函數(shù)．
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
∴當x=-1時，函數(shù)f（x）取得最小值f（-1）=-

1

3

．
當x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）=

1

3

．
∴-

1

3

≤f（x）≤

1

3

．，即函數(shù)f（x）的值域是[-

1

3

，

1

3

]．
②∵a=1，∴不等式f（ax）≤f（2a-x）等價為f（x）≤f（2-x），
∵f（x）在R上是增函數(shù)．
∴x＜2-x，解x＜1，
∴x的取值范圍是（-∞，1）．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用單調(diào)性的性質(zhì)求函數(shù)的值域是解決本題的關(guān)鍵．