Question

18．已知函數(shù)f（x）滿足2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=t+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-2$\sqrt{x}$（t為常數(shù)）．
（1）求f（x）解析式；
（2）若在[1，4]上，y=f（x）的圖象恒在y=log₂x的圖象下方，試求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=t+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-2$\sqrt{x}$得2f（$\frac{1}{x}$）-f（x）=t+$\sqrt{x}$-2$\frac{1}{\sqrt{x}}$，從而解得；
（2）在[1，4]上，要使y=f（x）的圖象恒在y=log₂x的圖象下方，則只需在[1，4]上，f_max（x）＜y_min即可，從而化為函數(shù)的最值問題．

解答 解：（1）∵2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=t+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-2$\sqrt{x}$，
∴2f（$\frac{1}{x}$）-f（x）=t+$\sqrt{x}$-2$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
∴3f（x）=3t-3$\sqrt{x}$，
∴f（x）=t-$\sqrt{x}$，
（2）在[1，4]上，要使y=f（x）的圖象恒在y=log₂x的圖象下方，
則只需在[1，4]上，f_max（x）＜y_min即可，
由（1）知，函數(shù)f（x）=t-$\sqrt{x}$在[1，4]上是減函數(shù)，
y=log₂x在[1，4]上是增函數(shù)，
∴f_max（x）=f（1）=t-1，y_min=y_x=1=0，
故t-1＜0，故t＜1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的解析式的求法及最值問題的應(yīng)用．