Question

已知函數(shù)f（x）=asin（ωx+θ）的部分圖象如下圖，其中ω＞0，|θ|＜

π

2

，a是△ABC的角A所對(duì)的邊．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若△ABC中角B所對(duì)的邊b=1，cosC=f（

C

2

），求△ABC的面積S．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角形的面積公式

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，把特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由cosC=f（

C

2

），求得cosC=

1

2

sinC，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinC的值，可得△ABC的面積S=

1

2

ab•sinC的值．

解答： 解：（1）因?yàn)閍＞0，由圖象可知f(x)max=a=

2

，
函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=2(

7π

8

-

3π

8

)=π，解得ω=2．
由f(

3π

8

)=

2

sin(2×

3π

8

+θ)=

2

，得sin(

3π

4

+θ)=1，…（4分）
因?yàn)?span id="fzvdjxj" class="MathJye">|θ|＜

π

2

，

π

4

＜

3π

4

+θ＜

5π

4

，∴

3π

4

+θ=

π

2

，θ=-

π

4

，
故f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)．
（2）由cosC=f(

C

2

)得，cosC=

2

sin(C-

π

4

)=sinC-cosC，即cosC=

1

2

sinC．
又sin²C+cos²C=1，得sin2C=

4

5

，sinC=±

2 5

5

．
由0＜C＜π得，sinC=

2 5

5

，故△ABC的面積S=

1

2

absinC=

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．