Question

極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為

1

ρ2

=

cos2θ

4

+sin²θ．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程；
（2）已知曲線C上兩點(diǎn)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）（θ∈[0，π]），求△AOB面積的最小值及此時(shí)θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）求得曲線C的直角坐標(biāo)方程為

x2

4

+y2=1，從而求得它的參數(shù)方程．
（2）由于OA⊥OB，可得S△AOB=

1

2

ρ1ρ2．求得

1

ρ12•ρ22

 的范圍，可得ρ₁•ρ₂的范圍，可得△AOB面積的最小值及此時(shí)θ的值．

解答： 解：（1）求得曲線C的直角坐標(biāo)方程為

x2

4

+y2=1，可得它的參數(shù)方程為

x=2cosα y=sinα

，（α為參數(shù)）．
（2）由于OA⊥OB，∴S△AOB=

1

2

ρ1ρ2．
∵

1

ρ 2 1 ρ 2 2

=(

cos2θ

4

+sin2θ)(

sin2θ

4

+cos2θ)=

17cos2θsin2θ

16

+

sin4θ+cos4θ

4

 
=

17cos2θsin2θ

16

+

(sin2θ+cos2θ)2-2cos2θsin2θ

4

=

9sin22θ

64

+

1

4

∈[

1

4

，

25

64

]，
∴ρ₁•ρ₂∈[

8

5

，2]，
故當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1時(shí)，即θ=

π

4

時(shí)，△AOB面積取得最小值為

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．