Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-2=(-

1

2

)n-1(n≥3)，且S1=1，S2=-

3

2

，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知S2n=S2-3[(

1

2

)2n-1+(

1

2

)2n-3]+…+(

1

2

)3 ]=-2+(

1

2

)2n-1．S2n+1=S1+3[(

1

2

)2n+(

1

2

)2n-2+…+ (

1

2

)2]=2-(

1

2

)2n．n≥1
所以a2n+1=S2n+1-S2n=4-3×(

1

2

)2n，n≥1，a2n=S2n-S2n-1=-4+3× (

1

2

)2n-1 ，n≥1．a(chǎn)₁=S₁=1，
由此可知an=

4-3×( 1 2 )n+1，n是奇數(shù) -4+3×( 1 2 )n-1，n為偶數(shù)

．

解答：解：先考慮偶數(shù)項(xiàng)，有：S2n-S2n-2=3×(-

1

2

)2n-1=-3×(

1

2

)2n-1，
S2n-2-S2n-4=-3×(

1

2

)2n-3，…，S4-S2=-3×(

1

2

)3，
∴S2n=S2-3[(

1

2

)2n-1+(

1

2

)2n-3]+…+(

1

2

)3 ]=-2+(

1

2

)2n-1．
同理考慮奇數(shù)項(xiàng)有S2n+1=3×(

1

2

)2n，S2n-1=3×(

1

2

)2n-2，…，S3-S1=3×(

1

2

)2，
∴S2n+1=S1+3[(

1

2

)2n+(

1

2

)2n-2+…+ (

1

2

)2]=2-(

1

2

)2n．n≥1
∴a2n+1=S2n+1-S2n=4-3×(

1

2

)2n，n≥1，a2n=S2n-S2n-1=-4+3× (

1

2

)2n-1 ，n≥1．a(chǎn)₁=S₁=1，
∴an=

4-3×( 1 2 )n+1，n是奇數(shù) -4+3×( 1 2 )n-1，n為偶數(shù)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)，解題時(shí)要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．