Question

已知函數(shù)y=

2x-1

x+1

（1）求函數(shù)的定義域；
（2）試判斷函數(shù)在（-1，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）求函數(shù)在x∈[3，5]的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由分母≠0求出函數(shù)的定義域；
（2）判定函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明出來；
（3）由函數(shù)f（x）的單調(diào)性求出f（x）在[3，5]上的最值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=

2x-1

x+1

，x+1≠0；
∴x≠-1，
∴函數(shù)的定義域是{x|x≠-1}；
（2）∵y=f（x）=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

，
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
證明：任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（2-

3

x1+1

）-（2-

3

x2+1

）
=

3

x2+1

-

3

x1+1

=

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）∵f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在[3，5]上單調(diào)遞增，
它的最大值是f（5）=

2×5-1

5+1

=

3

2

，
最小值是f（3）=

2×3-1

3+1

=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的定義域以及判定函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值問題，是基礎(chǔ)題．